Оптимизация в экономике: поиск экстремумов через производные

Условие:
Фирма имеет функцию общих издержек:
\[ C(q) = 0.1q^3 - 2q^2 + 30q + 200 \]
где \( q \) — объем выпуска. Найти выпуск продукции, минимизирующий средние издержки \( AC(q) = \frac{C(q)}{q} \).

Решение:

1. Функция средних издержек:
   \[ AC(q) = 0.1q^2 - 2q + 30 + \frac{200}{q} \]
2. Производная \( AC(q) \):
   \[ AC'(q) = 0.2q - 2 - \frac{200}{q^2} \]
3. Приравниваем к нулю и решаем численно: \[q \approx 8.37\]

Экономический смысл:
При \( q \approx 8.37 \) средние издержки минимальны (\( AC \approx 19.87 \)). Это точка эффективного производства для компании.

Условие:
Фирма производит товар с издержками \( C(q) = q^2 + 10q + 100 \). Цена товара фиксирована: \( p = 50 \) руб. Найти объем выпуска \( q \), максимизирующий прибыль \( \pi(q) = p \cdot q - C(q) \).

Решение:

1. Зададим функцию прибыли:
   \[ \pi(q) = 50q - (q^2 + 10q + 100) = -q^2 + 40q - 100 \]
2. Найдем первую производную, приравняем к нулю и придем к точке экстремума:
   \[ \pi'(q) = -2q + 40 = 0 \implies q = 20 \]
3. Проверка (знак второй производной говорит о характере экстремума, в данном случае - максимум):
   \[ \pi''(q) = -2 < 0 \implies \text{максимум} \]

Экономический смысл:
При \( q = 20 \) прибыль максимальна (\( \pi = 300 \) руб.). Увеличение выпуска сверх 20 единиц приведет к убыткам из-за роста издержек.

Условие:
Прибыль от рекламы: \( P(x) = 100\sqrt{x} - x \), где \( x \) — затраты на рекламу (в тыс. руб.). Найти оптимальный бюджет.

Решение:

1. Производная:
   \[ P'(x) = \frac{50}{\sqrt{x}} - 1 = 0 \implies \sqrt{x} = 50 \implies x = 2500 \]
2. Проверка:
   \[ P''(x) = -\frac{25}{x^{1.5}} < 0 \implies \text{максимум} \]

Экономический смысл:
При бюджете 2500 тыс. руб. прибыль достигает максимума (\( P = 2500 \) тыс. руб.). Дальнейшие траты на рекламу будут уже не так эффективны.

Условие:
Фермер имеет 100 га земли в пользовании. Его доход с посевов пшеницы задается формулой: \( R_w(x) = 120x - 0.5x^2 \), а с картофеля: \( R_c(y) = 80y - 0.3y^2 \). Как распределить землю между этими культурами \( x + y = 100 \)?

Решение:

1. Выпишем формулу для совокупного дохода с обоих частей полей:
   \[ R(x) = 120x - 0.5x^2 + 80(100 - x) - 0.3(100 - x)^2 \]
   Упрощаем до многочлена:
   \[ R(x) = -0.8x^2 + 80x + 5000 \]
2. Находим производную, приравниваем к нулю и получаем:
   \[ R'(x) = -1.6x + 80 = 0 \implies x = 50 \]
   \[ y = 100 - 50 = 50 \]

Экономический смысл:
Оптимально засеять по 50 га каждой культуры. Максимальный доход при этом составит 7000.

Условие:
Государство вводит налог \( t \) руб. на единицу товара. Спрос: \( q(p) = 100 - p \), предложение: \( q(p) = 2p \). Найти ставку \( t \), максимизирующую налоговые сборы \( T = t \cdot q \).

Решение:

1. Цена с налогом: \( p_d = p_s + t \).
2. Равновесие: \( 100 - (p_s + t) = 2p_s \implies p_s = \frac{100 - t}{3} \).
3. Объем продаж: \( q = 2p_s = \frac{200 - 2t}{3} \).
4. Налоговые сборы:
   \[ T(t) = t \cdot q = \frac{200t - 2t^2}{3} \]
5. Производная:
   \[ T'(t) = \frac{200 - 4t}{3} = 0 \implies t = 50 \]

Экономический смысл:
При ставке 50 руб. сборы максимальны (\( T \approx 1666.67 \) руб.). Более высокие ставки сокращают объем продаж.