Таблица интегралов онлайн
Интегрирование - одна из фундаментальных операций математического анализа, обратная дифференцированию. В этой таблице собраны основные интегралы элементарных функций, которые нужны для решения любых задач интегрирования, от самых простых до сложных. Знание этих формул и правил интегрирования необходимо для вычисления площадей, объемов, работы силы, и вообще многих других физических или экономических величин (см. решенные примеры на применение интегралов).
Интегралы элементарных функций
| Функция f(x) | Неопределенный интеграл ∫f(x)dx | Примечание |
|---|---|---|
| \[ 0 \] | \[ C \] | Нулевая функция |
| \[ k \] | \[ kx + C \] | Константа |
| \[ x^n \] | \[ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1) \] | Степенная функция |
| \[ \frac{1}{x} \] | \[ \ln|x| + C \] | |
| \[ e^x \] | \[ e^x + C \] | Экспонента |
| \[ a^x \] | \[ \frac{a^x}{\ln a} + C \] | Показательная функция |
| \[ \sin x \] | \[ -\cos x + C \] | Синус |
| \[ \cos x \] | \[ \sin x + C \] | Косинус |
| \[ \mathrm{tg} x \] | \[ -\ln |\cos x |+ C \] | Тангенс |
| \[ \mathrm{ctg} x \] | \[ \ln|\sin x |+ C \] | Котангенс |
| \[ \frac{1}{\cos^2 x} \] | \[ \mathrm{tg} x + C \] | |
| \[ \frac{1}{\sin^2 x} \] | \[ -\mathrm{ctg} x + C \] | |
| \[ \frac{1}{a^2+x^2} \] | \[\frac{1}{a} \mathrm{arctg} \frac{x}{a} + C =-\frac{1}{a} \mathrm{arcctg} \frac{x}{a} + C \] | |
| \[ \frac{1}{x^2-a^2} \] | \[\frac{1}{2a} \ln \left | \frac{a-x}{a+x}\right | + C \] | |
| \[ \sinh x \] | \[ \cosh x + C \] | Гиперболический синус |
| \[ \cosh x \] | \[ \sinh x + C \] | Гиперболический косинус |
| \[ \frac{1}{\sinh^2 x} \] | \[ -\coth x + C \] | |
| \[ \frac{1}{\cosh^2 x} \] | \[ \tanh x + C \] |
Интегралы от иррациональных функций
| Функция f(x) | Неопределенный интеграл ∫f(x)dx |
|---|---|
| \[ \frac{1}{\sqrt{x}} \] | \[ 2\sqrt{x} + C \] |
| \[ \sqrt{x} \] | \[ \frac{2}{3}x^{3/2} + C \] |
| \[ \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \] | \[ \arcsin \frac{x}{a} + C = -\arccos \frac{x}{a} + C \] |
| \[ \frac{1}{\sqrt{x^2 \pm a^2}} \] | \[ \ln\left|x + \sqrt{x^2 \pm a^2}\right| + C \] |
| \[ \sqrt{a^2-x^2} \] | \[ \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C \] |
| \[ \sqrt{x^2+a^2} \] | \[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2} + \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2+a^2}\right| + C \] |
| \[ \sqrt{x^2-a^2} \] | \[ \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2} - \frac{a^2}{2}\ln\left|x + \sqrt{x^2-a^2}\right| + C \] |
| \[ x\sqrt{x^2+a^2} \] | \[ \frac{1}{3}(x^2+a^2)^{3/2} + C \] |
| \[ \frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}} \] | \[ \sqrt{x^2+a^2} + C \] |
Основные способы интегрирования
Интеграл от суммы (линейность интегрирования)
\[ \int (af(x) + bg(x)) dx = a\int f(x)dx + b\int g(x)dx \]
Например, чтобы вычислить интеграл \( \int (3x^2 + 2\cos x) dx \), мы используем линейность интеграла и табличные значения: \[ \int (3x^2 + 2\cos x) dx = 3\int x^2 dx + 2\int \cos x dx = x^3 + 2\sin x + C \] где \( C \) - постоянная интегрирования.
Интегрирование по частям
\[ \int u dv = uv - \int v du \]
Используется для некоторых типов интегралов (произведения экспоненты, логарифма, тригонометрических функций на многочлен и других).
Например: \( \int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = e^x(x-1) + C \)
Замена переменной
\[ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)du \quad \text{где} \quad u = g(x) \]
Например: \( \int 2x \cos(x^2) dx= \int \cos(x^2) d(x^2) = \sin(x^2) + C \)
Интегрирование рациональных дробей
Для интегрирования дроблей проводят выделение целой части (в случае неправильной дроби) и разложение на сумму простейших дробей вида: \[ \frac{A}{(x-a)^n}, \quad \frac{Bx+C}{(x^2+px+q)^m}, \] каждая из которых затем интегрируется.
