Решения задач на метод максимального правдоподобия

Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом моментов используют метод максимального (наибольшего) правдоподобия.

Суть метода: составить по специальной формуле функцию правдоподобия $L$, и найти оценку параметра $\theta$ из условия максимизации функции правдоподобия (ФП) на определенной выборке $\{x_i\}$. Иногда ФП заменяют на логарифмическую функцию правдоподобия $l=\ln L$ (ЛФП), что облегчает расчеты (вычисление производных).

Оценки, полученные данным методом, будут состоятельными, асимптотически эффективными и асимптотически нормальными. Несмещенность оценок надо проверять (это метод не гарантирует).

Примеры нахождения оценок по методу наибольшего правдоподобия вы найдете ниже. Удачи!

Примеры решений

Пример 1. Найти методом наибольшего правдоподобия оценку параметра p биномиального распределения, если в $n_1$ независимых испытаниях событие A появилось $m_1$ раз и в $n_2$ независимых испытаниях событие A появилось $m_2$ раз.

Пример 2. Используя метод наибольшего правдоподобия, оценить параметры $a$ и $\sigma^2$ нормального распределения, если в результате $n$ независимых испытаний случайная величина $\xi$ приняла значения $\xi_1, \xi_2,…,\xi_n$.

Пример 3. Случайная величина $X$ (число появлений события $A$ в $m$ независимых испытаниях) подчинена закону распределения Пуассона с неизвестным параметром $\lambda$. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$ распределения Пуассона.

Пример 4. Случайная величина – время безотказной работы изделия имеет показательное распределение. В таблице приведены данные по времени работы в часах для 1000 изделий. Найти методом максимального правдоподобия точечную оценку неизвестного параметра $\lambda$.

Пример 5. Найти методом наибольшего правдоподобия по выборке $x_1, x_2,…,x_n$ точечную оценку параметра $p$ геометрического распределения: $$P(X=x_i)=(1-p)^{x_i-1} \cdot p,$$ где $x_i$ - число испытаний, произведенных до появления события, $p$ - вероятность появления события в одном испытании.

Пример 6. Методом максимального правдоподобия найти точечную оценку параметра $\lambda$ по данной выборке
Х 1-3 3-5 5-7 7-9 9-11 11-13 13-15 15-17 17-19
n 5 6 7 15 22 27 30 34 35
при условии, что соответствующая непрерывная случайная величина имеет плотность распределения $f(x)=\lambda \exp(\lambda(x-20)), x \le 20$.

Пример 7. Методом максимального правдоподобия найдите оценку параметра $\theta$, если плотность имеет вид $$ f(x)=\frac{2x^3}{\sqrt{2\pi}} \exp (-(x^4-\theta)^2/2) $$ и по наблюдениям 1.4 1.5 3.2 1.4 2.5 3.4 3.1 2.4 3.8 2.6

Теория по ММП

Хотите немного больше знать о теоретических основах метода наибольшего правдоподобия для чайников? Тогда используйте ссылки ниже для изучения.

• Метод максимального правдоподобия
  Вводятся свойства оценок параметров распределения (несмещенность, состоятельность, эффективность), доказывются теоремы. Далее рассматривается сам ММП, приводится сводная таблица оценок для разных типов распределений.
• Методы нахождения оценок: метод максимального правдоподобия
  Лекция по ММП с теоретическими основами и примерами решений.
• Видеоролик МФТИ о ММП
  Короткий (буквально 4 минуты) ролик о сути метода.


• Список учебников по математической статистике со ссылками
• Решенные контрольные по математической статистике