Решения задач методом моментов
Для оценивания неизвестных параметров статистических распределений наравне с методом наибольшего правдоподобия используют метод моментов.
Суть метода: выразить числовые параметры теоретического распределения через моменты распределения, оценненные по выборки. Число моментов должно соответствовать числу неизвестных параметров распределения (чаще всего используют первые два момента). После вычисления приравниваем теоретические и выборочные моменты друг к другу и выражаем оценки параметров.
Данный метод прост в в реализации, дает неплохие оценки и удобен для отработки навыков. Про свойства оценок: состоятельность оценок выполняется при непрерывной зависимости от параметра, асимптотическая эффективность оценок, полученных по ММП всегда лучше чем у ММ, оценки по ММ чаще всего смещенные (требуется проверка).
Примеры нахождения оценок по методу моментов для разных распределений вы найдете ниже. Удачи!
Примеры решений
Пример 1. Число семян сорняков в пробах зерна подчинено закону Пуассона. Имеется выборка проб зерна. Результаты записаны в таблице Т1. Найти параметр $\lambda$ по выборке методом моментов.
Пример 2. При условии равномерного распределения случайной величины $Х$ произведена выборка
3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
21 16 15 26 22 14 21 22 18 25
Найти оценку параметров $a$ и $b$ по методу моментов.
Пример 3. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, ..., x_n$ точечную оценку параметра $p$ биномиального распределения $P_m(x_i)=C_{m}^{x_i} p^{x_i} (1-p)^{m-x_i}$, где $x_i$ - число появлений события в $i$-ом опыте ($i=1,2,...,n$), $m$ - количество испытаний в одном опыте.
Пример 4. Найти методом моментов по выборке $x_1, x_2, ..., x_n$ точечные оценки неизвестных параметров $a$ и $\sigma$ нормального распределения.
Пример 5. Пусть случайная величина $\xi$ имеет плотность $p(x)=1/(b-a)$, если $x\in(a;b)$, и $p(x)=0$, иначе. Произведена выборка. Используя метод моментов, найти $a$ и $b$.
Теория по методу моментов
Хотите немного больше знать о теоретических основах метода моментов для чайников? Материалов в интернете к сожалению не так много, подойдут классические учебники по математической статистике и конечно же лекция Черновой Н. по методу моментов с теоретическими основами и примерами решений.
- Список учебников по математической статистике со ссылками
- Решенные контрольные по математической статистике
