Решения задач на проверку статистических гипотез

Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах.

В учебных задачах речь обычно идет о простой гипотезе $H_0$ (ее называют нулевой), однозначно определяющей закон распределения. Вместе с ней вводят альтернативную гипотезу $H_1$ (конкурирующую) и определяют уровень значимости $\alpha$, на котором будет сделан вывод о справедливости гипотезы.

Далее по выборочным данным вычисляется значение статистического критерия (формула зависит от конкретной гипотезы) и выясняется, попадает ли оно в критическую область (одностороннюю или двустороннюю). Если попадает - нулевую гипотезу следует отвергнуть. При проверке гипотез есть вероятность допустить ошибку: первого рода (верная гипотеза отклонена, $\alpha$) или второго рода (неверная гипотеза принята, $\beta$).

Ниже в примерах мы разберем основные учебные задачи на проверку гипотез о значении среднего, дисперсии, вероятности, о равенстве числовых характеристики. Задачи на проверку гипотез о виде распределения (с помощью критерия согласия Пирсона и других) ищите тут: Проверка гипотез о законе распределения.

Примеры решений на проверку гипотез онлайн

Гипотеза о равенстве среднего значения числу

Пример 1. Утверждается, что шарики для подшипников, изготовленные автоматическим станком, имеют средний диаметр 10 мм. Используя односторонний критерий с α=0,05, проверить эту гипотезу, если в выборке из n шариков средний диаметр оказался равным 10,3 мм, а дисперсия известна и равна 1 мм.

Пример 2. Продавец утверждает, что средний вес пачки чая составляет 100 г. Из партии извлечена выборка и взвешена. Вес каждой пачки - см. таблицу вариантов. Не противоречит ли это утверждению продавца? Доверительная вероятность 99%. Вес пачек чая распределен нормально.

Гипотеза о равенстве дисперсии числу

Пример 3. По результатам $n=7$ независимых измерений найдено, что $\overline{x}=82,48$ мм, а $S=0,08$ мм. Допустив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение проверить на уровне значимости $\alpha=0,05$ гипотезу $H_0: \sigma^2=0,01$ мм$^2$. против конкурирующей гипотезы $H_0: \sigma^2=0,005$ мм$^2$. В ответе записать разность между фактическим и табличным значениями выборочной характеристики.

Пример 4. Компания не осуществляет инвестиционных вложений в ценные бумаги с дисперсией годовой доходности более чем 0,04. Выборка из 52 наблюдений по активу А показала, что выборочная дисперсия ее доходности равна 0,045.Выяснить, допустимы ли для данной компании инвестиционные вложения в актив А на уровне значимости: а) 0,05; б) 0,01.

Гипотеза о равенстве вероятности числу

Пример 5. Фирма рассылает рекламные каталоги возможным заказчикам. Как показал опыт, вероятность того, что организация получившая каталог, закажет рекламируемое изделие, равна 0,08. Фирма разослала 1000 каталогов новой, улучшенной, формы и получила 100 заказов. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли считать, что новая форма рекламы существенно лучше прежней.

Пример 6. Обычно применяемое лекарство снимает послеоперационные боли у 80% пациентов. Новое лекарство, применяемое для тех же целей, помогло 90 пациентам из первых 100 оперированных. Можно ли на уровне значимости а = 0,05 считать, что новое лекарство лучше? А на уровне а = 0,01?

Гипотеза о равенстве средних

Пример 7. Ожидается, что добавление специальных веществ уменьшит жесткость воды. По оценке жесткости воды до после добавления специальных веществ по 40-ка и 50-ти пробам соответственно получим средние значения жесткости (в стандартных единицах), равные 4,0 и 0,8. Дисперсия измерений в обоих случаях предполагается равно 0,25. Подтверждают ли эти результаты ожидаемый эффект? Принять $\alpha=0,05$. Контролируемая величина имеет нормальное распределение.

Пример 8. Производительность каждого из агрегатов А и В составила (в кг вещества за час работы)
Номер замера 1 2 3 4 5
Агрегат А 14,1 13,1 14,7 13,7 14,0
Агрегат В 14,0 14,5 13,7 12,7 14,1
Можно ли считать производительность агрегатов А и В одинаковой в предложении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей, при уровне значимости a = 0,1?

Гипотеза о равенстве дисперсий

Пример 9. До наладки станка была проверена точность изготовления 10 втулок и найдено значение оценки дисперсии диаметра $s_1^2=9,6$ мкм$^2$. После наладки подверглись контролю еще 15 втулок и получено новое значение оценки дисперсии $s_2^2=5,7$ мкм$^2$. Можно ли считать, что в результате наладки станка точность изготовления деталей увеличилась? Принять $\alpha=0,05$.

Пример 10. При уровне значимости $\alpha=0,1$ проверить гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин Х и Y на основе выборочных данных (табл. 4) при альтернативной гипотезе $H_1: \sigma_x^2 \ne \sigma_y^2$.

Гипотеза о равенстве вероятностей

Пример 11. Из 200 задач первого раздела курса математики, предложенных для решения, абитуриенты решили 130, а из 300 задач второго раздела абитуриенты решили 120. Можно ли при α=0,01 утверждать, что первый раздел школьного курса абитуриенты усвоили лучше, чем второй.

Пример 12. Выборочная проверка надежности материнских плат 2-х производителей дала следующие результаты: в течения месяца после продажи в 15 из 200 материнских плат производителя А обнаружены дефекты, тогда как среди 400 материнских плат производителя В 8% оказались дефектами. Существенны ли различия в надежности материнских плат производителей А и В? Уровень значимости принять равным 0,01.

Полезные ссылки

• Проверка гипотез о законе распределения по критерию Пирсона
• Что такое проверка статистической гипотезы?


• Решение задач на заказ
• Ссылки на учебники
• Решенные контрольные

Решебник по математической статистике

Ищете решенное задание на проверку статистических гипотез? Попробуйте тут: