Неравенство Маркова. Неравенство Чебышева

На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач по теории вероятностей, в которых применяются неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теорема Чебышева и их следствия (закон больших чисел, ЗБЧ).

Краткая теория. Закон больших чисел

Неравенство Маркова дает вероятностную оценку того, что значение неотрицательной случайной величины превзойдет некоторую константу через известное математическое ожидание. Когда никаких других данных о распределении нет, неравенство дает некоторую информацию, хотя зачастую оценка груба или тривиальна.

Пусть $X$ - случайная величина, принимающая неотрицательные значения, $M(X)$ - ее конечное математическое ожидание, то для любых $a \gt 0$ выполняется

$$ P(X \ge a) \le \frac{M(X)}{a}. $$

Альтернативная форма записи (когда нужно оценить вероятность того, что СВ меньше некоторой константы):

$$ P(X \lt a) \gt 1-\frac{M(X)}{a}. $$

Когда известны не только математическое ожидание (первый момент), но и дисперсия (второй центральный момент) для случайной величины (и они конечны), можно применять следствие неравенства Маркова — неравенство Чебышева, которое дает оценку вида:

$$ P(|X-M(X)| \ge a) \le \frac{D(X)}{a^2}, \quad a \gt 0. $$

Также его можно записать в другой форме:

$$ P(|X-M(X)| \lt a) \gt 1- \frac{D(X)}{a^2}, \quad a \gt 0. $$

Неравенство Чёбышева показывает, что случайная величина принимает значения близкие к среднему (математическому ожиданию) и дает оценку вероятности больших отклонений. Положим $a=k\sigma$, где $\sigma$ - стандартное отклонение, тогда получим оценку вероятности того, что СВ отклонится по модулю от среднего больше чем на $k\sigma$:

$$ P(|X-M(X)| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}. $$

Для значения $k=2$ вероятность отклонения меньше 25%, для $k=3$ - уже 11,12%.

Для случайной величины $X$, распределенной по биномиальному закону с параметрами $n, p$, неравенство Чебышева принимает вид:

$$ P(|X-np| \lt a) \gt 1- \frac{npq}{a^2}. $$

Для частоты $k/n$ появления события в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых оно происходит с вероятностью $M(k/n)=p$ (дисперсия этой величины $D(k/n)=pq/n$) получаем:

$$ P\left(\left|\frac{k}{n}-p \right| \lt a\right) \gt 1- \frac{pq}{n a^2}. $$

Последнее неравенство также известно как неравенство из теоремы Бернулли. Из него также есть следствие, которое позволяет оценить отклонение числа $m$ появлений события в $n$ испытаниях от ожидаемого значения $np$:

$$ P\left(\left|m-np \right| \lt a\right) \gt 1- \frac{npq}{a^2}. $$

Приведем также теорему Чебышева, которая имеет большое практические значение.

Если дисперсии $n$ независимых случайных величин $X_1, X_2, ..., X_n$ ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа $n$ средняя арифметическая случайных величин сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий $a_1, a_2,..., a_n$, т.е.

$$ \lim_{n \to \infty} P\left( \left|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n} \right| \le \varepsilon \right)=1. $$

Следствие: Если независимые случайные величины $X_1, X_2, ..., X_n$ имеют одинаковые математические ожидания, равные $a$, а их дисперсии ограничены одной и то же постоянной $C$, то:

$$ P\left( \left|\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}-a \right| \le \varepsilon \right) \ge 1-\frac{C}{n \varepsilon^2}. $$

Это означает, что при большом числе случайных величин практически достоверно, что их средняя арифметическая (случайная величина) как угодно мало отличается от неслучайной величины $a$ (среднего значения).

Примеры решенных задач

Неравенство Маркова: примеры решений

Задача 1. Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.

Задача 2. Количество потребляемой за сутки электроэнергии предприятием является случайной величиной с математическим ожиданием 6 мегаватт при среднем квадратическом отклонении 1,5 мегаватта. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки потребление электроэнергии окажется более 12 мегаватт.

Задача 3. Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20?С. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет:
а) не более $15^{0}С$;
б) более $20^{0}С$.

Неравенство Чебышева: примеры решений

Задача 4. В 1600 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 50.

Задача 5. . Генератор обеспечивает выходное напряжение, которое может отклоняться от номинального на значение, не превышающее 1 В, с вероятностью 0,95. Какие значения дисперсии выходного напряжения можно ожидать?

Задача 6. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется меньше двух.

Теорема Чебышева и ЗБЧ: примеры решений

Задача 7. Дана последовательность независимых случайных величин $X_1, X_2, ..., X_n, ...$ Случайная величина $X_k$ может принимать значения: $-n \alpha, 0, n \alpha$ ($\alpha \gt 0$) с вероятностями, соответственно равными: $1/2n^2, 1-1/n^2, 1/2n^2$. Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?

Задача 8. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превышает 0,5, равна 0,8. Дисперсия каждой независимой случайной величины не превышает 7. Найти число таких случайных величин.

Задача 9. Дисперсия каждой из 2500 независимых СВ не превышает 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превысит 0,4.

Задача 10. Случайная величина $X_N$ принимает значения $exp(N \ln 0,5)$ и $exp(N \ln 1,2)$ с одинаковыми вероятностями. Можно ли к последовательности $X_N$ применить закон больших чисел?

Решебник по терверу

Нужны еще решения? Найди в решебнике сейчас: