Пошаговое вычисление производной сложной функции

Производная — один из ключевых инструментов математического анализа, который помогает понять, как функция изменяется. Но что делать, если перед вами не простая функция вроде $ y = x^2 $, а сложная, с вложениями, произведениями или дробями? В этой статье мы разберем общий алгоритм вычисления производной сложной функции и закрепим его примерами — от базовых до более запутанных.

Общий алгоритм нахождения производной

Чтобы найти производную сложной функции, нужно двигаться по шагам:

1. Определить структуру функции: Разобрать из каких частей она состоит. Это может быть сумма, произведение, частное или композиция (функция от функции).
2. Выбрать подходящее правило дифференцирования для каждого случая:
   • Для суммы или разности: $ (u + v)' = u' + v' $.
   • Для произведения: $ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $.
   • Для частного: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} $.
   • Для сложной функции (композиции): использовать правило дифференцирования "по цепи" (для простоты будем говорить, что дифференцируем по цепочке - начинаем от внешней функции и дальше двигаемся внутрь, пока не дойдем до x) — $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $.
3. Найти производные простых частей: Использовать таблицу производных для элементарных функций (например, $ (x^n)' = n x^{n-1} $, $ (\sin x)' = \cos x $).
4. Последовательно перейти к результату: Подставить найденные производные в формулу и упростить выражение.

Теперь применим этот алгоритм на практике, разобрав несколько примеров на нахождение производной.

Пример 1: Простая композиция

Рассмотрим функцию $ y = \sin(x^2) $.

1. Структура: Это сложная функция — $ \sin $ от $ x^2 $. Внешняя функция — $ \sin u $, внутренняя — $ u = x^2 $.
2. Правило: Используем правило цепочки: $ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $.
3. Производные:
   • Сначала найдем производную от синуса $ (\sin u)' = \cos u $, где $ u = x^2 $, значит $ f'(g(x)) = \cos(x^2) $.
   • А теперь от внутренней части: $ (x^2)' = 2x $.
4. Ответ: $ y' = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x \cos(x^2) $.

Пример 2: Произведение с композицией

Возьмем функцию $ y = x^3 \cdot e^{2x} $.

1. Структура: Прежде всего, это произведение двух функций: $ u = x^3 $ и $ v = e^{2x} $, причем одна из них - $ e^{2x} $ — сложная функция.
2. Правило: Сначала применяем правило произведения: $ (u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v' $.
3. Производные:
   • $ u = x^3 $, $ u' = 3x^2 $.
   • $ v = e^{2x} $. Это композиция: внешняя — $ e^u $, внутренняя — $ u = 2x $. По правилу цепочки: $ (e^{2x})' = e^{2x} \cdot (2x)' = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x} $.
4. Получаем: $$ y' = u' \cdot v + u \cdot v' = 3x^2 \cdot e^{2x} + x^3 \cdot 2e^{2x}. $$ Упростим, вынося $ e^{2x} $: $$ y' = e^{2x} (3x^2 + 2x^3) = x^2 e^{2x} (3 + 2x). $$

Пример 3: Частное с композицией

Рассмотрим $ y = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x} $.

1. Структура: Функция представляет собой дробь: числитель $ u = \ln(x^2 + 1) $ (сложная функция), знаменатель $ v = x $.
2. Правило: Сначало используем правило для частного: $ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} $.
3. Производные:
   • $ u = \ln(x^2 + 1) $. По правилу цепочки: $ (\ln w)' = \frac{1}{w} \cdot w' $, где $ w = x^2 + 1 $, $ w' = 2x $. Итог: $ u' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} $.
   • $ v = x $, $ v' = 1 $.
4. Результат: $$ y' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2} = \frac{\frac{2x}{x^2 + 1} \cdot x - \ln(x^2 + 1) \cdot 1}{x^2}. $$ Упростим числитель: $$ \frac{2x^2}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1). $$ Итог: $$ y' = \frac{\frac{2x^2}{x^2 + 1} - \ln(x^2 + 1)}{x^2} = \frac{2x^2 - (x^2 + 1) \ln(x^2 + 1)}{x^2 (x^2 + 1)}. $$

Пример 4: Сложная композиция вложенных функций

Пусть $ y = e^{\sin(x^2)} $.

1. Структура: В этот раз получилась трехслойная композиция функций: внешняя — $ e^u $, средняя — $ u = \sin v $, внутренняя — $ v = x^2 $.
2. Правило: Применяем правило цепочки несколько раз.
3. Производные:
   • $ (e^u)' = e^u $, где $ u = \sin(x^2) $, значит $ e^{\sin(x^2)} $.
   • $ (\sin v)' = \cos v $, где $ v = x^2 $, значит $ \cos(x^2) $.
   • $ (x^2)' = 2x $.
4. Приходим к ответу:: $$ y' = e^{\sin(x^2)} \cdot \cos(x^2) \cdot 2x = 2x e^{\sin(x^2)} \cos(x^2). $$

И еще

Вычисление производной сложной функции — это комбинация базовых правил и внимательности. Начинайте с простых примеров, чтобы освоить технику, а затем переходите к более сложным. Если задачи кажутся непосильными, не переживайте — мы можем помочь! Закажите решение у нас и сэкономьте время.

Дополнительная информация

• Таблица производных и правила дифференцирования
• Другие примеры решений производных
• Контрольные по математике на заказ
• Почему стоит заказать в МатБюро?