Формулы онлайн: Случайные величины
В данном разделе вы найдете формулы по теории вероятностей в онлайн-варианте (в формате для скачивания - см. на странице Таблицы и формулы по теории вероятностей).
Каталог формул по теории вероятности онлайн
Случайные величины. Способы задания
Ряд распределения дискретной случайной величины
Табличный вид:
$$ \begin{array}{|c|c|} \hline X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\ \hline \end{array} $$Сумма вероятностей всегда равна 1 (условие нормировки):
$$\sum_{i=1}^{n} p_i=1$$Примеры решенных задач с табличным законом распределения ДСВ
Функция распределения (интегральная функция распределения)
Функция распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $F(x)=P(X\lt x)$. Это неубывающая функция, принимающая значения от 0 до 1. Если задана плотность распределения $f(x)$, то функция распределения выражается как интеграл от плотности:
$$ F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)\, dt. $$Плотность распределения (дифференциальная функция распределения)
Плотность распределения случайной величины $X$ определяется по формуле $f(x)=F'(x)$. Существует только для непрерывной случайной величины. Для нее выполняется условие нормировки (площадь под кривой вероятности равна 1):
$$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\, dx=1. $$Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
Может быть вычислена двумя способами:
1) через функцию распределения
$$P(\alpha \lt X \lt \beta) = F(\beta)-F(\alpha).$$2) через плотность распределения
$$P(\alpha \lt X \lt \beta) = \int_{\alpha}^{\beta} f(x)\, dx.$$Случайные величины. Числовые характеристики
Математическое ожидание случайной величины
1) Для дискретной случайной величины $X$, заданной рядом распределения:
$$M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i.$$2) Для непрерывной случайной величины $X$, заданной плотностью распределения:
$$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot x\, dx.$$Статья и калькулятор о математическом ожидании
Дисперсия случайной величины
По определению дисперсия – это второй центральный момент:
$$ D(X) =M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] =M(X^2)-\left(M(X)\right)^2.$$1) Для дискретной случайной величины $X$:
$$ D(X)= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot p_i - \left(M(X)\right)^2.$$2) Для непрерывной случайной величины $X$:
$$M(X)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot x^2\, dx - \left(M(X)\right)^2.$$Статья и калькулятор о дисперсии
Среднее квадратическое отклонение случайной величины
$$\sigma (X) = \sqrt{D(X)}.$$Коэффициент вариации случайной величины
$$V(X) = \frac{\sigma(X)}{M(X)}.$$Начальный момент r–го порядка случайной величины
определяется по формуле:
$$\nu_r = M(X^r)$$В частности, первый начальный момент – это математическое ожидание: $\nu_1=M(X^1)=M(X).$
Центральный момент r – го порядка случайной величины
определяется по формуле:
$$\mu_r = M\left[ \left(X-M(X)\right)^r \right]$$В частности, второй центральный момент – это дисперсия:
$$\mu_2 = M\left[ \left(X-M(X)\right)^2 \right] = D(X).$$Асимметрия
$$ A_s = \frac{\mu_3}{\sigma^3}. $$Коэффициент асимметрии положителен, если правый хвост распределения длиннее левого (правая часть кривой более пологая), и отрицателен в противном случае. Если распределение симметрично относительно математического ожидания, то его коэффициент асимметрии равен нулю.
Эксцесс
$$ E = \frac{\mu_4}{\sigma^4}-3. $$Коэффициент эксцесса нормального распределения равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик гладкий.
Решенные задачи по теории вероятностей
Нужна готовая задача по терверу? Найдите на сайте-решебнике:
