Равномерно распределенная случайная величина
На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ - распределенных по равномерному закону.
В сущности, равномерное распределение - самое простое из семейства непрерывных, и определяется тем, что плотность распределения постоянна (равна константе) на всем интервале: $f(x)=c=\frac{1}{b-a}, x\in (a;b)$ (а вне его равна нулю):
$$ f(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {1}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 0,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$Функция распределения для нее вычисляется практически в уме:
$$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} 0,\ x \le a\\ \frac {x-a}{b-a},\ a \lt x \le b, \\ 1,\ x \gt b, \\ \end{array} \right. $$Для равномерного на интервале $(a;b)$ распределения известны формулы для числовых характеристик. Математическое ожидание $M(X)=\frac{a+b}{2}$, дисперсия $D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$, среднее квадратическое отклонение $\sigma(X)=\frac{b-a}{2\sqrt{3}}$.
В жизни равномерным распределением часто моделируют время ожидания транспорта, ошибки округления в пределах цены деления.
В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются равномерно распределенные случайные величины.
Примеры решений
Задача 1. Автобусы идут с интервалом 5 минут. Полагая, что случайная величина $\xi$ - время ожидания автобуса на остановке - распределена равномерно на указанном интервале, найти среднее время ожидания и среднеквадратическое уклонение времени ожидания.
Задача 2. Телефонный звонок должен последовать от 10 ч до 10 ч 20 мин. Какова вероятность того, что звонок произойдет в последние 10 мин указанного промежутка, если момент звонка случаен?
Задача 3. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0,04; б) большая 0,05.
Задача 4. В здании областной администрации случайное время ожидания лифта равномерно распределено в диапазоне от 0 до 3 минут. Найти а) плотность распределения времени ожидания, б) вероятность ожидания лифта более чем 2 минуты, в) вероятность того, что лифт прибудет в течение первых 15 секунд, г) среднее время ожидания лифта и дисперсию времени ожидания.
Задача 5. Случайная величина $X$ задана интегральной $F(x)$ или дифференциальной $f(x)$ функцией. Требуется:
а) найти параметр $C$;
б) при заданной интегральной функции найти дифференциальную функцию; а при заданной дифференциальной функции найти интегральную функцию;
в) построить графики функций $F(x)$ и $f(x)$;
г) найти математическое ожидание $M[X]$ дисперсию $D[X]$ среднее квадратическое отклонение $\sigma[X]$;
д) вычислить вероятность попадания в интервал $P(a\lt X \lt b)$;
е) определить, квантилем какого порядка является точка $x_p$;
ж) вычислить квантиль порядка $p$.
Задача 6. Дана плотность распределения $p(x)$ случайной величины $\xi$. Найти параметр $\gamma$, математическое ожидание $M\xi$, дисперсию $D\xi$, функцию распределения случайной величины $\xi$, вероятность выполнения неравенства $x_1 \lt \xi \lt x_2$. $$a=1, b=1,8, x_1=1,3, x_2=1,6.$$ $$ p(x)= \left\{ \begin{array}{l} {1,x \in [\gamma; 1,8],} \\ {0,x \not\in [\gamma; 1,8].} \\ \end{array} \right. $$
Задача 7. Случайная величина Х равномерно распределена в интервале (1;8). Найти:
а) дифференциальную функцию,
б) интегральную функцию,
в) математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение,
г) вероятность попадания в интервал (3;5).
Задача 8. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом: $$ F(x)= \left\{ \begin{array}{l} {0,x \lt a,} \\ {\frac{x-1}{2}, x \in [a,b]} \\ {1, x\gt b.} \end{array} \right. $$ Определить параметры $а$ и $b$, найти плотность вероятности, числовые характеристики и вероятность попадания случайной величины в интервал $[-1, 2]$. Построить графики $р(x)$ и $F(x)$.
Решебник по теории вероятности онлайн
Больше 16000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:
